L t e −at = 1 s+a 2
ただし， a>0 ， a<0
ラプラス変換の定義より
L t e −at = ∫ 0 ∞ t e −at ⋅ e −st dt
= ∫ 0 ∞ t e − s+a t dt
= ∫ 0 ∞ t − 1 s+a e − s+a t ′ dt
部分積分法を用いる．
= t − 1 s+a e − s+a t 0 ∞ − ∫ 0 ∞ t ′ − 1 s+a e − s+a t dt
=0+ 1 s+a ∫ 0 ∞ 1⋅ e − s+a t dt
= 1 s+a ∫ 0 ∞ e − s+a t dt
= 1 s+a − 1 s+a e − s+a t 0 ∞
= 1 s+a 0+ 1 s+a
= 1 s+a 2
微分則
L { − t f ( t ) } = d F ( s ) d s ただし， F s =L f t ･･････(1)
を活用する．
f t = e −at ･･････(2)
とすると，指数関数のラプラス変換より
F s = 1 s+a ･･････(3)
である．
(1)に(2)，(3)を代入する．
L −t e −at = d ds 1 s+a
=− 1 s+a 2 ･･････(4)
ラプラス変換の線形性より
L −t e −at =−L t e −at ･･････(5)
の関係が成り立つ．
(4)と(5)より
−L t e −at =− 1 s+a 2
となる．
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最終更新日： 2024年8月24日